اين پست ويژه است چون مولف اين نامساوي شادروان رضا صادقي هستند!
-اگر a,b,cاضلاع مثلث باشند،ثابت كنيد:
a^2+3(b-c)^2 + √b^2+3(c-a)^2≥√3c^2+(a-b)^2√
برهان:مطابق فرض a,b.cاضلاع يك مثلث هستند در نتيجه طبق نا مساوي مثلث:
a+b>c , b+c>a , c+a>b
قرار دهيد:
x=a+b-c/2 , y=a+c-b/2 , z=c+b-a/2
x,y,zاعداد حقيقي مثبتي هستند كه در معادلات زير صدق مي كنند:
a=x+y , b=x+z , c=y+z
عبارات فوق را در نامساوي اصلي به جاي a,b,c جايگزين مي كنيم و مساله تبديل ميشود به حل نامساوي زير:
√(x+y)^2+3(x-y)^2 +√(x+z)^2+3(x-z)^2≥√3(y+z)^2+(y-z)^2
يا:
√x^2+y^2-xy+√x^2+z^2-xz≥√y^2+z^2+yz
دو روش براي حل اين نامساوي ارايه مي كنيم:
روش نخست يك روش جبري است بدين ترتيب كه;طرفين نامساوي را به توان 2 ميرسانيم وپس از ساده كردن نا مساوي زير به دست مي آيد:
2√x^2+y^2-xy √x^2+z^2-xz ≥ xy+yz+xz-2x^2
اگر طرف راست اين نا مساوي منفي باشد ،حكم صحيح است ولي اگر مثبت باشد،يكبار ديگر طرفين نامساوي را به توان دو مي رسانيم و پس از ساده كردن و تجزيه ي عبارات به دست آمده به نا مساوي زير مي رسيم:
3(xy+xz-yz)^2≥0
كه همواره صحيح است .
روش دوم براي اثبات اين نامساوي روش هندسي است. مطابق شكل سه پاره OA,OB,OCبه طولهاي x,y,zرا به گونه اي كنار هم قرار دهيد كه زاويه ي BOCو زاويه ي AOC هر دو برابر 60 درجه باشند.
مطابق قانون كسينوس ها مي توان اضلاعAB وAC را محاسبه كرد :
AB^2=x^2+y^2-2xy Cos 60˚=x^2+y^2-xy
AC^2=x^2+z^2-2xz Cos 60˚=x^2+z^2-xz
همچنين زاويه يBOC ،120 درجه است.پس:
BC^2=y^2+z^2-2yz Cos 120˚=y^2+z^2+yz
در مثلث ABCطبق نا مساوي مثلث:
AB+AC≥BC
و با توجه به مقادير به دست آمده براي اضلاع مثلث ABC،به دست مي آيد:
√x^2+y^2-xy +√x^2+z^2-xz≥√y^2 +z^2+yz
از آنجا كه اين سه نقطه A,B,Cممكن است روي يك خط راست واقع گردند، حالت تساوي نيز ممكن است روي دهد. در حالت تساوي ،OAنيمساز زاويه ي BOCخواهد شد و طبق فرمول نيمساز:
OA=2OB.OC.Cos(60˚)/OB+OC=OB.OC/OB+OC
يا x=yz/y+z،كه معادل است با xy+xz=yz.
مي بينيد كه ار حل جبري نا مساوي نيز به همين نتيجه رسيديم.
(ما هر کاری می کنیم نمی تونیم شکلشو اینجا بذاریم،ولی شکلش تقریبا مشخصه ! با این حال اگه کسی خواست بهمون ایمیل بزنه واسش می فرستیم)
شيوه اي كه براي حل اين نا مساوي به كار برديم ،شيوه ي تغيير پارامتر نام دارد.
بطور كلي هر نا مساوي مربوط به اضلاع مثلث را مي توان با اين شيوه ي كلي تبديل به يك نا مساوي بر روي اعداد حقيقي مثبت كرد. بدين ترتيب كه اگر a,b,cاضلاع يك مثلث باشند بجاي a,b,cقرار دهيم x +y,x+z,x+y. كه x,y,zاعداد حقيقي مثبت هستند.
